[1] 骨身を惜しまずに打ち込むさま。
けなげに物事を行うさま。
動作に真心がこもっているさま。

例）
・甲斐甲斐しく看病する
・甲斐甲斐しく世話をする

[2] 動作などが手ぎわよく、きびきびしているさま。
てきぱきしているさま。

例）
・甲斐甲斐しく働く
・甲斐甲斐しく立ち働く
・甲斐甲斐しく手伝う
・甲斐甲斐しいエプロン姿（かっぽう着姿）